İkinci Dereceden Denklemler

a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere,

ax² + bx + c = 0

biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu açık önermeyi doğrulayan x sayılarına denklemin kökleri; tüm köklerin oluşturduğu kümeye denklemin çözüm kümesi; çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere denklem çözme; a, b, c sayılarına da denklemin kat sayıları denir.

B. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN ÇÖZÜM KÜMESİNİN BULUNUŞU

1. Çarpanlara Ayırma Yöntemi

ax² + bx + c = 0 denklemi f(x) . g(x) = 0

biçiminde yazılabiliyorsa

f(x) = 0 veya g(x) = 0 olup çözüm kümesi;

Ç = {x | x, f(x) = 0 veya Q(x) = 0 denklemini sağlar} olur.

2. Diskiriminant (D) Yöntemi

ax² + bx + c = 0 denklemi a ¹ 0 ve

D = b2 – 4ac ise, çözüm kümesi

ax² + bx + c = 0

denkleminde, D = b² – 4ac olsun.

a) D > 0 ise, denklemin farklı iki gerçel kökü vardır.

Bu kökleri,

b) D < 0 ise, denklemin gerçel kökü yoktur.

c) D = 0 ise, denklemin eşit iki gerçel kökü vardır. 

Bu kökler,

Denklemin bu köklerine; eşit iki kök, çakışık kök ya da çift katlı kök denir.

Ü ax² + bx + c = 0

denkleminin kökleri simetrik ise,

1) b = 0 ve a ¹ 0 dır.

2) Simetrik kökleri gerçel ise,

b = 0, a ¹ 0 ve a . c £ 0 dır.

C. İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI  ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri

x₁ ve x₂ ise,

D. KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci dereceden denklem;

(x – x₁) (x – x₂) = 0 dır. Bu ifade düzenlenirse,

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0 olur.

Ü ax² + bx + c = 0 ... (1) denkleminin kökleri x₁ ve x2 olsun. Kökleri mx1 + n ve 

mx₂ + n olan ikinci dereceden denklem, (1) denkleminde x yerineyazılarak bulunur.

Ü ax² + bx + c = 0 ve dx₂ + ex + f = 0 denklemlerinin çözüm kümeleri aynı ise,

Ü ax₂ + bx + c = 0 ve dx2 + ex + f = 0

denklemlerinin sadece birer kökleri eşit ise,

ax₂ + bx + c = dx² + ex + f

(a – d)x² + (b – e)x + c – f = 0 dır.

Bu denklemin kökü verilen iki denklemi de sağlar.

ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMLER

A. TANIM

a ¹ 0 olmak üzere, ax³ + bx² + cx + d = 0 biçimindeki denklemlere üçüncü dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

B. ÜÇÜNCÜ DERECEDEN DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

a ¹ 0 ve ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ve x₃ olsun. Buna göre,

C. KÖKLERİ VERİLEN ÜÇÜNCÜ

DERECE DENKLEMİN YAZILMASI

Kökleri x₁, x₂ ve x₃ olan üçüncü derece denklem

(x – x₁) (x – x₂) (x – x₃) = 0 dır.

Bu denklem düzenlenirse,

x₃ – (x₁ + x₂ + x₃)x² + (x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)x – x₁x₂x₃ = 0

olur.

Ü ax³ + bx² + cx + d = 0 denkleminin kökleri

x₁, x₂, x₃ olsun.

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,

x₁ + x₃ = 2x² dir.

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,

x₁ = x₂ = x₃ tür.

n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,

a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + ... + a₁x + a₀ = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı :

Kökleri çarpımı :