YGS-LYS, Konu Anlatımı

Kartezyen Çarpımı ve Bağıntı

KARTEZYEN ÇARPIMI VE BAĞINTI

A. SIRALI n Lİ

n tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir.

(a, b) sıralı ikilisinde;

a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir.

a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b, a) dır.

(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir.

 

 

B. KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin kartezyen çarpımı denir.

 

A kartezyen çarpım B kümesi A ´ B ile gösterilir.

A ´ B = {(x, y) : x Î A ve y Î B} dir.

A ¹ B ise, A ´ B ¹ B ´ A dır.

 

 

C. KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELİKLERİ

  • 1) s(A) = m ve s(B) = n ise

    s(A ´ B) = s(B ´ A) = m × n dir.

  • A ´ (B ´ C) = (A ´ B) ´ C

  • A ´ (B È C) = (A ´ B) È (A ´ C)

  • (B È C) ´ A = (B ´ A) È (C ´ A)

  • A ´ (B Ç C) = (A ´ B) Ç (A ´ C)

  • (B Ç C) ´ A = (B ´ A) Ç (C ´ A)

  • A ´ Æ = Æ ´ A = Æ

 

 

 

D. BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A ´ B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı denir.

 

Bağıntı genellikle b ile gösterilir.

b Ì A ´ B ise, b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} dir.

Ü

s(A) = m ve s(B) = n ise,

A dan B ye 2m×n tane bağıntı tanımlanabilir.
Ü

A ´ A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir.
Ü

s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,

A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m × n) bağıntı sayısı
Ü

b Ì A ´ B olmak üzere,

b = {(x, y) : (x, y) Î A ´ B} bağıntısının tersi

b–1 Ì B ´ A dır.

Buna göre, b bağıntısının tersi

b–1 = {(y, x) : (x, y) Î b} dır.

 

 

 

E. BAĞINTININ ÖZELİKLERİ

b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

 

1. Yansıma Özeliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x) Î b ise, b yansıyandır.

 

"x Î A için, (x, x) Î b ise, b yansıyandır. (" : Her)

 

2. Simetri Özeliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

 

"(x, y) Î b için (y, x) Î b ise, b simetriktir.

Ü

b bağıntısı simetrik ise b = b–1 dir.

Ü

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı dir.

Ü

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı dir.

 

3. Ters Simetri Özeliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

 

x ¹ y iken "(x, y) Î b için (y, x) Ï b ise, b ters simetriktir.

b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özeliğini bozmaz.

 

4. Geçişme Özeliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun.

 

"[(x, y) Î b ve (y, z) Î b] için (x, z) Î b ise,

b bağıntısının geçişme özeliği vardır.

Boş kümeden farklı bir A kümesinde tanımlanan b = Æ bağıntısında yansıma özeliği yoktur. Simetri, Ters simetri, geçişme özeliği vardır.

 

 

F. BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun.

1. Denklik Bağıntısı

 

b; Yansıma, Simetri, Geçişme özeliğini sağlıyorsa denklik bağıntısıdır.

2. Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özeliği varsa b sıralama bağıntısıdır.

 

Bir bağıntı hem denklik, hem de sıralama bağıntısı olabilir

 

Ü

b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. (x, y) Î b ise x ve y elemanları b bağıntısına göre denktir denir ve x º y şeklinde yazılır.

Ü

b, A kümesinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. A da x elemanına denk olan bütün elemanların kümesine x in denklik sınıfı denir ve şeklinde gösterilir. x in denklik sınıfının kümesi,