YGS-LYS, Konu Anlatımı

Trigonometri 1

TRİONOMETRİ 1

I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

A. AÇI
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir.B. YÖNLÜ AÇIBir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü açı denir.

Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün aynısıdır.

 

Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.

Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı olan yöne negatif yön denir.

C. YÖNLÜ YAYLAR

O merkezli çemberde ile bu açının iç bölgesindeki noktaların kümesinin O merkezli çemberle kesişimi AB yayıdır. AB yayı, biçiminde gösterilir.

 

 

D. BİRİM ÇEMBERAnalitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİBir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir.derece ve radyandır.1. DereceBir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile gösterilir.2. RadyanYarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.

Birim çemberin çevresi 360° veya 2p radyan olduğu için, 360° = 2p radyan dır.

 

Kural

Derece D ile radyan R ile gösterilirse,

     

 

 

 

F. ESAS ÖLÇÜ olmak üzere, birim çember üzerinde a açısı ile
a + k × 360° açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna göre,      a + k × 360° Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°) aralığındadır.Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360° ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.

 

olmak üzere, ölçüsü

 

olan açının esas ölçüsü a derecedir.

 

Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda, açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den çıkarılarak esas ölçü bulunur.

Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden 2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.

Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den çıkarılır. nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise nin esas ölçüsü dir.
II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARA. KOSİNÜS FONKSİYONUBir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs fonksiyonu denir.apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa ile gösterilir.

 

 

 

 

 

     

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olmak üzere, P noktasının

x = cosa dır.–1 £ cosa £ 1 dir.

 

 

Kosinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

 

 

 

 

     

Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. P noktasının

y = sina–1 £ sina £ 1 dir.

 

 

Sinüs fonksiyonunun görüntü kümesi (aralığı), [–1, 1] dir. Yani, her için,

 

 

Sonuç

Şekilde,

A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.

B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.

C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.

D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.

 

Kural

Şekilde,

x = cosa, y = sina

|OK| = sina ve

|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;

      |OH|2 + |PH|2 = 12

      cos2a + sin2a = 1 dir.

 

 

 

 

x = 1 doğrusuna

 

t = tana dır.

 

 

 

y = 1 doğrusuna

 

c = cota

 

Sonuç

(T.sız: Tanımsız)

 

Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının İşaretleri

Uyarı

cosa nın işaretinin sina nın işaretine bölümü cota nın işaretini; sina nın işaretinin cosa nın işaretine bölümü tana nın işaretini verir.4 bölgede de tana ile cota nın işareti aynıdır.

 

 

 

 

 

P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın

P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği noktanın

 

c = cosecas = seca

 

 

 

 

Kural

 

Sonuç

  cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara eşit olamaz.1 + tan2x = sec2x  1 + cot2x = cosec2x

 

 

 

 

 

BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.

     

F. DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK ORANLARI

Sonuç

Ölçüleri toplamı 90° olan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına; birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre,

     

Bazı dar açıların trigonometrik değerleri aşağıda verilmiştir. Bu değerlerin çok iyi bilinmesi soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı aynı olur.

 

Kural

x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere, trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında fonksiyonların adı farklı olur. Bu farklılık, sinüs için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için kotanjant, kotanjant için de tanjanttır.

 

Kural

E. KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONUBirim çember üzerinde olmak üzere,ordinatına, a reel (gerçel) sayısının kosekantı denir ve csca ile ya da coseca gösterilir.apsisine, a reel (gerçel) sayısının sekantı denir ve seca ile gösterilir.

 

 

 

Kural

 

D. KOTANJANT FONKSİYONUBirim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın y = 1 doğrusunu kestiği K noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.kotanjant ekseni denir.
C. TANJANT FONKSİYONUBirim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen açı olsun. [OP nın x = 1 doğrusunu kestiği T noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının tanjantı denir ve tana ile gösterilir.tanjant ekseni denir.
B. SİNÜS FONKSİYONUBir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs fonksiyonu denir.ordinatına, a reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.

 

 

 

 

 

 

Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı yazılır.

 

 

 

nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır. Şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan, da pozitif yönlüdür.

Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B ye yayın bitim noktası denir.

 

 

 

 

Birim çemberin denklemi:

 

x2 + y2 = 1 dir.

 

 

 

 

Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar;

 

 

 

 

 

 

 

 

Kural

Uyarı

 

 

Sponsorlu Bağlantılar